Estatística Bayesiana com R e Stan: Distribuições Estatísticas

Jose Storopoli

Processing math: 100%

Distribuições Estatísticas

Os blocos fundamentais dos modelos Bayesianos

Author

Affiliation

Jose Storopoli

UNINOVE

Published

Aug. 1, 2021

Citation

Storopoli, 2021

A estatística Bayesiana usa distribuições probabilísticas como o motor de sua inferência na elaboração dos valores dos parâmetros estimados e suas incertezas.

Imagine que distribuição probabilísticas são pequenas peças de “Lego.” Podemos construir o que quisermos com essas pequenas peças. Podemos fazer um castelo, uma casa, uma cidade; literalmente o que quisermos. O mesmo é valido para modelos probabilísticos em estatística Bayesiana. Podemos construir modelos dos mais simples aos mais complexo a partir de distribuições probabilísticas e suas relações entre si. Nesta aula vamos fazer um sobrevoo sobre as principais distribuições probabilísticas, sua notação matemática e seus principais usos em estatística Bayesiana.

Uma distribuição de probabilidade é a função matemática que fornece as probabilidades de ocorrência de diferentes resultados possíveis para um experimento. É uma descrição matemática de um fenômeno aleatório em termos de seu espaço amostral e as probabilidades de eventos (subconjuntos do espaço amostral).

Geralmente usamos a notação X ~ Dist(par1, par2, ...). Onde X é a variável, Dist é o nome da distribuição, e par os parâmetros que definem como a distribuição se comporta. Toda distribuição probabilística pode ser “parameterizada” ao especificarmos parâmetros que permitem moldarmos alguns aspectos da distribuição para algum fim específico.

Começaremos pelas distribuições discretas e na sequência abordaremos as contínuas.

Discretas

Distribuições de probabilidade discretas são aquelas que os resultados são números discretos (também chamados de números inteiros): $-N, \dots, -2, 1, 0,1,2,\dots, N$ e $N \in \mathbb{Z}$ . Em distribuições discretas chamamos a probabilidade de uma distribuição tomar certos valores como “massa.” A função massa de probabilidade $\text{FMP}$ é a função que especifica a probabilidade da variável aleatória $X$ tomar o valor $x$ :

$\text{FMP}(x) = P(X = x)$

Uniforme Discreta

A distribuição uniforme discreta é uma distribuição de probabilidade simétrica em que um número finito de valores são igualmente prováveis de serem observados. Cada um dos $n$ valores tem probabilidade igual $\frac{1}{n}$ . Outra maneira de dizer “distribuição uniforme discreta” seria “um número conhecido e finito de resultados igualmente prováveis de acontecer.”

A distribuição uniforme discreta possui dois parâmetros e sua notação é $\text{Unif}(a, b)$ :

Limite Inferior ( $a$ )
Limite Superior ( $b$ )

Exemplo: Um dado.

ggplot(data = tibble(
  x = seq(1, 6),
  y = dunif(x, min = 1, max = 6)),
  aes(x, y)) +
  geom_line(size = 2, col = "red") +
  geom_point(size = 4, col = "red") +
  labs(
    title = "Distribuição Uniforme Discreta",
    subtitle = expression("a =  1, b = 6"),
    x = expression(theta),
    y = "Massa",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  scale_x_continuous(breaks = c(1:6))

Figure 1: Distribuição Uniforme entre 1 e 6

Bernoulli

A distribuição de Bernoulli descreve um evento binário de um sucesso de um experimento. Geralmente representamos $0$ como falha e $1$ como sucesso, então o resultado de uma distribuição de Bernoulli é uma variável binária $Y \in \{0, 1\}$ .

A distribuição de Bernoulli é muito usada para modelar resultados discretos binários no qual só há dois possíveis resultados.

A distribuição de Bernoulli possui apenas um único paramêtro e sua notação é $\text{Bernoulli} (p)$ :

Probabilidade de Sucesso ( $p$ )

Exemplo: Se o paciente sobreviveu ou morreu ou se o cliente conclui sua compra ou não.

Binomial

A distribuição binomial descreve um evento do número de sucessos em uma sequência de $n$ experimentos independentes, cada um fazendo uma pergunta sim-não com probabilidade de sucesso $p$ . Note que a distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição binomial no qual o número de experimentos é $1$ .

A distribuição binomial possui dois parâmetros e sua notação é $\text{Bin}(n, p)$ ou $\text{Binomial}(n, p)$ :

Número de Experimentos ( $n$ )
Probabilidade de Sucessos ( $p$ )

Exemplo: quantidade de caras em 5 lançamentos de uma moeda.

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 5))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Binomial",
    subtitle = expression(n == 5),
    x = expression(theta),
    y = "Massa",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.1), color = "p ==  0.1"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.1), color = "p ==  0.1"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.2), color = "p ==  0.2"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.2), color = "p ==  0.2"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.5), color = "p ==  0.5"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dbinom(x, size = 5, prob = 0.5), color = "p ==  0.5"), size = 4) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 2: Comparativo de Distribuições Binomial

Poisson

A distribuição Poisson expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. A distribuição de Poisson também pode ser usada para o número de eventos em outros intervalos especificados, como distância, área ou volume.

A distribuição Poisson possui um parâmetro e sua notação é $\text{Poisson}(\lambda)$ :

Taxa ( $\lambda$ )

Exemplo: Quantidade de e-mails que você recebe diariamente. Quantidade de buracos que você encontra na rua.

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 20))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Poisson",
    x = expression(theta),
    y = "Massa",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dpois(x, lambda = 1), color = "lambda ==  1"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dpois(x, lambda = 1), color = "lambda ==  1"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dpois(x, lambda = 4), color = "lambda ==  4"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dpois(x, lambda = 4), color = "lambda ==  4"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dpois(x, lambda = 10), color = "lambda ==  10"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dpois(x, lambda = 10), color = "lambda ==  10"), size = 4) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 3: Comparativo de Distribuições Poisson

Binomial Negativa

A distribuição binomial negativa descreve um evento do número de sucessos em uma sequência de $n$ experimentos independentes, cada um fazendo uma pergunta sim-não com probabilidade $p$ até que se obtenha $k$ sucessos. Note que ela se torna idêntica à distribuição de Poisson quando no limite de $k \to \infty$ . Isto faz com que seja uma opção robusta para substituir uma distribuição de Poisson para modelar fenômenos com uma superdispersão (variação nos dados excedente ao esperado).

A distribuição negativa binomial possui dois parâmetros e sua notação é $\text{NB}(k, p)$ ou $\text{Negative-Binomial}(k, p)$ :

Número de Sucessos ( $k$ )
Probabilidade de Sucessos ( $p$ )

Qualquer fenômeno que pode ser modelo com uma distribuição de Poisson, pode ser modelo com uma distribuição binomial negativa (Gelman et al., 2013; Gelman, Hill, & Vehtari, 2020).

Exemplo: Contagem anual de ciclones tropicais.

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 5))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Binomial Negativa",
    subtitle = expression(p == 0.5),
    x = expression(theta),
    y = "Massa",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dnbinom(x, size = 1, prob = 0.5), color = "k ==  1"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dnbinom(x, size = 1, prob = 0.5), color = "k ==  1"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dnbinom(x, size = 2, prob = 0.5), color = "k ==  2"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dnbinom(x, size = 2, prob = 0.5), color = "k ==  2"), size = 4) +
  geom_line(aes(x, y = dnbinom(x, size = 5, prob = 0.5), color = "k ==  5"), size = 2) +
  geom_point(aes(x, y = dnbinom(x, size = 5, prob = 0.5), color = "k ==  5"), size = 4) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 4: Comparativo de Distribuições Binomial Negativa

Contínuas

Distribuições de probabilidade contínuas são aquelas que os resultados são valores em uma faixa contínua (também chamados de número reais): $(-\infty, +\infty) \in \mathbb{R}$ . Em distribuições contínuas chamamos a probabilidade de uma distribuição tomar certos valores como “densidade.” Como estamos falando sobre números reais não conseguimos obter a probabilidade de uma variável aleatória $X$ tomar o valor de $x$ . Isto sempre será $0$ , pois não há como especificar um valor exato de $x$ . $x$ vive na linha dos números reais, portanto, precisamos especificar a probabilidade de $X$ tomar valores em um intervalo $[a,b]$ . A função densidade de probabilidade $\text{FDP}$ é definida como:

$\text{FDP}(x) = P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$

Normal / Gaussiana

Essa distribuição geralmente é usada nas ciências sociais e naturais para representar variáveis contínuas na qual as suas distribuições não são conhecidas. Esse pressuposto é por conta do teorema do limite central. O teorema do limite central afirma que, em algumas condições, a média de muitas amostras (observações) de uma variável aleatória com média e variância finitas é ela própria uma variável aleatória cuja distribuição converge para uma distribuição normal à medida que o número de amostras aumenta. Portanto, as quantidades físicas que se espera sejam a soma de muitos processos independentes (como erros de medição) muitas vezes têm distribuições que são quase normais.

A distribuição normal possui dois parâmetros e sua notação é $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ ou $\text{N}(\mu, \sigma^2)$ :

Média ( $\mu$ ): média da distribuição e também a moda e a mediana
Desvio Padrão ( $\sigma$ ): a variância da distribuição ( $\sigma^2$ ) é uma medida de dispersão das observações em relação à média

Exemplo: Altura, Peso etc.

ggplot(data = tibble(x = seq(-4, 4, length = 100))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Normais",
    subtitle = expression(mu == 0),
    x = expression(theta),
    y = "Densidade",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dnorm(x, mean = 0, sd = 0.5), color = "sigma ==  0.5"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dnorm(x, mean = 0, sd = 1), color = "sigma ==  1.0"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dnorm(x, mean = 0, sd = 2), color = "sigma ==  2.0"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dnorm(x, mean = 0, sd = 5), color = "sigma ==  5.0"), size = 2) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 5: Comparativo de Distribuições Normais

Log-normal

A distribuição Log-normal é uma distribuição de probabilidade contínua de uma variável aleatória cujo logaritmo é normalmente distribuído. Assim, se a variável aleatória $X$ for distribuída normalmente por log natural, então $Y = \log (X)$ terá uma distribuição normal.

Uma variável aleatória com distribuição logarítmica aceita apenas valores reais positivos. É um modelo conveniente e útil para medições em ciências exatas e de engenharia, bem como medicina, economia e outros campos, por ex. para energias, concentrações, comprimentos, retornos financeiros e outros valores.

Um processo log-normal é a realização estatística do produto multiplicativo de muitas variáveis aleatórias independentes, cada uma das quais positiva.

A distribuição log-normal possui dois parâmetros e sua notação é $\text{Log-Normal}(\mu, \sigma^2)$ :

Média ( $\mu$ ): média do logaritmo natural da distribuição
Desvio Padrão ( $\sigma$ ): a variância do logaritmo natural da distribuição ( $\sigma^2$ ) é uma medida de dispersão das observações em relação à média

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 3, length = 100))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Log-Normais",
    subtitle = expression(mu == 0),
    x = expression(theta),
    y = "Densidade",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dlnorm(x, mean = 0, sd = 0.25), color = "sigma ==  0.25"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dlnorm(x, mean = 0, sd = 0.5), color = "sigma ==  0.5"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dlnorm(x, mean = 0, sd = 1.0), color = "sigma ==  1.0"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dlnorm(x, mean = 0, sd = 1.5), color = "sigma ==  1.5"), size = 2) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 6: Comparativo de Distribuições Log-Normais

Exponencial

A distribuição exponencial é a distribuição de probabilidade do tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente a uma taxa média constante.

A distribuição exponencial possui um parâmetro e sua notação é $\text{Exp}(\lambda)$ :

Taxa ( $\lambda$ )

Exemplo: Quanto tempo até o próximo terremoto. Quanto tempo até o próximo ônibus.

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 5, length = 100))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Exponenciais",
    x = expression(theta),
    y = "Densidade",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dexp(x, rate = 0.5), color = "lambda ==  0.5"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dexp(x, rate = 1), color = "lambda ==  1"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dexp(x, rate = 1.5), color = "lambda ==  1.5"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dexp(x, rate = 2), color = "lambda ==  2"), size = 2) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 7: Comparativo de Distribuições Exponenciais

Distribuição $t$ de Student

A distribuição $t$ de Student surge ao estimar a média de uma população normalmente distribuída em situações onde o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população é desconhecido.

Se tomarmos uma amostra de $n$ observações de uma distribuição normal, então a distribuição $t$ com $\nu = n-1$ graus de liberdade pode ser definida como a distribuição da localização da média da amostra em relação à média verdadeira, dividida pela desvio padrão da amostra, após multiplicar pelo termo padronizador $\sqrt{n}$ .

A distribuição $t$ é simétrica e em forma de sino, como a distribuição normal, mas tem caudas mais longas, o que significa que é mais propensa a produzir valores que estão longe de sua média.

A distribuição $t$ de Student possui um parâmetro e sua notação é $\text{Student} (\nu)$ :

Graus de Liberdade ( $\nu$ ): controla o quanto ela se assemelha com uma distribuição normal

Exemplo: Uma base de dados cheia de outliers.

ggplot(data = tibble(x = seq(-4, 4, length = 100))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições t de Student",
    x = expression(theta),
    y = "Densidade",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dt(x, df = 1), color = "nu ==  1"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dt(x, df = 3), color = "nu ==  3"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dt(x, df = 8), color = "nu ==  8"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dt(x, df = 30), color = "nu ==  30"), size = 2) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 8: Comparativo de Distribuições $t$ de Student

Distribuição Beta

A distribuição beta é uma escolha natural para modelar qualquer coisa que seja restrita a valores entre 0 e 1. Portanto, é uma boa candidata para probabilidades e proporções.

A distribuição beta possui dois parâmetros e sua notação é $\text{Beta} (a, b)$ :

Parâmetro de Forma ( $a$ ou às vezes $\alpha$ ): controla o quanto a forma é deslocada para próximo de 1
Parâmetro de Forma ( $b$ ou às vezes $\beta$ ): controla o quanto a forma é deslocada para próximo de 0

Exemplo: Um jogador de basquete já marcou 5 lances livres e errou 3 em um total de 8 tentativas - $\text{Beta}(3, 5)$

ggplot(data = tibble(x = seq(0, 1, length = 100))) +
  labs(
    title = "Comparativo de Distribuições Beta",
    x = expression(theta),
    y = "Densidade",
    color = "Parâmetros"
  ) +
  geom_line(aes(x, y = dbeta(x, shape1 = 1, shape2 = 1), color = "list(alpha, beta) ==  1"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dbeta(x, shape1 = 3, shape2 = 2), color = "list(alpha ==  3, beta ==  2)"), size = 2) +
  geom_line(aes(x, y = dbeta(x, shape1 = 2, shape2 = 3), color = "list(alpha ==  2, beta ==  3)"), size = 2) +
  scale_color_brewer(palette = "Set1",
    labels = scales::label_parse())

Figure 9: Comparativo de Distribuições Beta

Dashboard de Distribuições

Não cobrimos todas as distribuições existentes. Há uma pletora de distribuições probabilísticas.

Para acessar todo o zoológico de distribuições use essa ferramenta do Ben Lambert (estatístico do Imperial College of London): https://ben18785.shinyapps.io/distribution-zoo/

Ambiente

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Platform: x86_64-apple-darwin17.0 (64-bit)
Running under: macOS Big Sur 10.16

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[1] en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/C/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8

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[1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods  
[7] base     

other attached packages:
 [1] brms_2.15.0     rstanarm_2.21.1 Rcpp_1.0.6      skimr_2.1.3    
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 [9] patchwork_1.1.1 cowplot_1.1.1  

loaded via a namespace (and not attached):
  [1] backports_1.2.1      systemfonts_1.0.2    plyr_1.8.6          
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 [58] munsell_0.5.0        cellranger_1.1.0     tools_4.1.0         
 [61] cli_2.5.0            generics_0.1.0       ggridges_0.5.3      
 [64] evaluate_0.14        stringr_1.4.0        fastmap_1.1.0       
 [67] yaml_2.2.1           ragg_1.1.2           processx_3.5.2      
 [70] knitr_1.33           purrr_0.3.4          nlme_3.1-152        
 [73] mime_0.10            projpred_2.0.2       xml2_1.3.2          
 [76] compiler_4.1.0       bayesplot_1.8.0      shinythemes_1.2.0   
 [79] rstudioapi_0.13      curl_4.3.1           gamm4_0.2-6         
 [82] png_0.1-7            bslib_0.2.5.1        stringi_1.6.2       
 [85] highr_0.9            ps_1.6.0             Brobdingnag_1.2-6   
 [88] lattice_0.20-44      Matrix_1.3-3         nloptr_1.2.2.2      
 [91] markdown_1.1         shinyjs_2.0.0        vctrs_0.3.8         
 [94] pillar_1.6.1         lifecycle_1.0.0      jquerylib_0.1.4     
 [97] bridgesampling_1.1-2 httpuv_1.6.1         R6_2.5.0            
[100] bookdown_0.22        promises_1.2.0.1     gridExtra_2.3       
[103] codetools_0.2-18     distill_1.2          boot_1.3-28         
[106] colourpicker_1.1.0   MASS_7.3-54          gtools_3.8.2        
[109] assertthat_0.2.1     rprojroot_2.0.2      withr_2.4.2         
[112] shinystan_2.5.0      mgcv_1.8-35          parallel_4.1.0      
[115] hms_1.1.0            grid_4.1.0           tidyr_1.1.3         
[118] coda_0.19-4          minqa_1.2.4          rmarkdown_2.8       
[121] downlit_0.2.1        shiny_1.6.0          lubridate_1.7.10    
[124] base64enc_0.1-3      dygraphs_1.1.1.6

References

Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis. Chapman and Hall/CRC.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2020). Regression and other stories. Cambridge University Press.

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Storopoli (2021, Aug. 1). Estatística Bayesiana com R e Stan: Distribuições Estatísticas. Retrieved from https://storopoli.github.io/Estatistica-Bayesiana/2-Distribuicoes_Estatisticas.html

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@misc{storopoli2021distsstatR,
  author = {Storopoli, Jose},
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}

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